Die Zinseszins-Formel: Herleitung und Rechenweg

Die Grundformel ohne Sparrate

Für eine einmalige Anlage ohne weitere Einzahlungen lautet die Zinseszins-Formel:

K = K0 × (1 + p/100)ⁿ

Dabei steht K für das Endkapital, K0 für das Startkapital, p für den Zinssatz in Prozent und n für die Anzahl der Verzinsungsperioden. Der Term (1 + p/100) heißt Aufzinsungsfaktor: Er gibt an, um welchen Faktor das Kapital in jeder einzelnen Periode wächst. Wird dieser Faktor n-mal mit sich selbst multipliziert (also hoch n genommen), ergibt sich der Gesamtwachstumsfaktor über die komplette Laufzeit.

Warum die Formel eine Potenz enthält

Bei einfachen Zinsen würde man den Zinsbetrag jedes Jahr einfach addieren, das Kapital wüchse also linear: K = K0 + K0 × n × p/100. Beim Zinseszins wird stattdessen jedes Jahr auf das bereits gewachsene Kapital aus dem Vorjahr erneut der Faktor (1 + p/100) angewendet, nicht auf das ursprüngliche Startkapital. Genau diese wiederholte Multiplikation mit sich selbst ist eine Potenz, deshalb taucht im Zinseszins die Hochzahl n auf, während die einfache Zinsformel ohne Potenz auskommt.

Rechenbeispiel Schritt für Schritt

Angenommen, Sie legen 5.000 Euro bei einem Zinssatz von 4 Prozent pro Jahr für 8 Jahre an, ohne weitere Einzahlungen und mit jährlicher Verzinsung. So läuft die Rechnung Jahr für Jahr ab:

1. Nach 1 Jahr: 5.000 € × 1,04 = 5.200,00 €
2. Nach 2 Jahren: 5.200,00 € × 1,04 = 5.408,00 €
3. Nach 3 Jahren: 5.408,00 € × 1,04 = 5.624,32 €
4. So geht es Jahr für Jahr weiter, bis nach 8 Jahren 6.842,85 € erreicht sind
5. Direkt über die Formel: K = 5.000 € × (1,04)^8 = 6.842,85 €, dasselbe Ergebnis in einem Schritt

Die Formel bei mehreren Verzinsungsperioden pro Jahr

Wird nicht jährlich, sondern zum Beispiel monatlich verzinst, muss die Formel angepasst werden. Der jährliche Zinssatz wird durch die Anzahl der Perioden pro Jahr geteilt, und die Hochzahl wird entsprechend vervielfacht:

K = K0 × (1 + p/100/m)^{m × n}

Dabei ist m die Anzahl der Verzinsungsperioden pro Jahr (1 für jährlich, 12 für monatlich, 365 für täglich) und n weiterhin die Laufzeit in Jahren. Der Rechner auf der Startseite verwendet genau diese erweiterte Form, wenn Sie eine andere Zinsperiode als jährlich auswählen.

Die Formel mit regelmäßiger Sparrate

Kommt zusätzlich zum Startkapital eine regelmäßige Sparrate hinzu, reicht die einfache Formel oben nicht mehr aus, weil jede Einzahlung zu einem unterschiedlichen Zeitpunkt geleistet wird und dadurch unterschiedlich lange mitverzinst wird. Für diesen Fall kommt die Rentenendwertformel hinzu, die den Beitrag aller Einzahlungen zusammenrechnet:

K = K0 × (1 + i)^N + R × ((1 + i)^N − 1) / i

Hier ist i der periodische Zinssatz (p/100 geteilt durch die Anzahl der Perioden pro Jahr), N die Gesamtzahl der Perioden über die komplette Laufzeit, und R die Sparrate pro Periode. Der erste Summand entspricht dem Wachstum des Startkapitals aus der Grundformel, der zweite Summand addiert das Wachstum aller regelmäßigen Einzahlungen. Der Rechner auf der Startseite berechnet genau diese beiden Summanden getrennt und zeigt sie zusammen als Endkapital an, aufgeschlüsselt zusätzlich nach eingezahltem Betrag und reinem Zinsertrag.

Typische Stolperfallen beim Nachrechnen von Hand

Der häufigste Fehler beim manuellen Nachrechnen ist, den Zinssatz als Dezimalzahl statt als Prozentzahl in die Formel einzusetzen, oder umgekehrt zu vergessen, ihn durch 100 zu teilen. 5 Prozent sind in der Formel 0,05, nicht 5. Ein zweiter häufiger Fehler ist eine falsche Klammerung beim Potenzieren im Taschenrechner: Der komplette Term (1 + p/100) muss zuerst berechnet werden, bevor er mit n potenziert wird, sonst entsteht ein völlig anderes, meist deutlich zu kleines Ergebnis.

Ein dritter Punkt betrifft die Periodenanzahl bei unterjähriger Verzinsung: Wird monatlich verzinst, muss sowohl der Zinssatz durch 12 geteilt als auch die Hochzahl mit 12 multipliziert werden. Wird nur eines von beidem angepasst, verschiebt sich das Ergebnis spürbar. Der Zinseszinsrechner übernimmt diese Umrechnung automatisch und vermeidet damit genau diese Fehlerquelle.

Woher die Formel kommt

Die mathematische Idee hinter dem Zinseszins ist Jahrhunderte alt und war schon in der frühen Bankengeschichte bekannt, lange bevor Taschenrechner oder Computer existierten. Kaufleute und Geldverleiher im Mittelalter rechneten Zinseszinsen bereits mit Tabellenwerken von Hand aus, weil regelmäßige, mehrjährige Kredite und Anlagen ohne diese Rechnung kaum verlässlich kalkulierbar waren.

Die heutige, kompakte Schreibweise mit einer Potenz setzte sich erst mit der breiteren Verwendung der Exponentialschreibweise in der Mathematik durch, vereinfachte die vorher mühsame Jahr-für-Jahr-Multiplikation aber erheblich, sobald sie einmal etabliert war. Wer die Formel heute in einen Taschenrechner oder eine Tabellenkalkulation eingibt, führt im Kern genau dieselbe wiederholte Multiplikation aus, die früher von Hand über Tabellenwerke nachgeschlagen wurde, nur eben in einem einzigen Rechenschritt statt vieler einzelner Jahre.

Der Grenzfall: stetige Verzinsung

Erhöht man die Anzahl der Verzinsungsperioden pro Jahr immer weiter, jährlich, monatlich, täglich, stündlich und darüber hinaus, nähert sich das Ergebnis einem mathematischen Grenzwert an, der sogenannten stetigen Verzinsung. In diesem theoretischen Grenzfall lautet die Formel K = K0 mal e hoch (p/100 mal n), wobei e die Eulersche Zahl ist, ungefähr 2,71828.

In der Praxis spielt dieser Grenzfall bei Sparanlagen kaum eine Rolle, da Banken realistischerweise nicht häufiger als täglich verzinsen. Interessant ist er trotzdem, weil er zeigt, dass der Zinseszinseffekt bei zunehmender Verzinsungshäufigkeit nicht unbegrenzt weiterwächst, sondern sich einem festen oberen Wert annähert, wie bereits die Tabelle mit jährlicher, monatlicher und täglicher Verzinsung auf der Startseite andeutet.

Direkt ausrechnen statt von Hand? Der Zinseszinsrechner übernimmt genau diese Formel inklusive Sparrate und wählbarer Zinsperiode.

Angaben zum Anbieter dieser Seite finden Sie im Impressum, Informationen zur Datenverarbeitung in der Datenschutzerklärung.